滚球法计算避雷针保护范围

滚球法”是一种计算接闪器保护范围的方法。它的计算原理为以某一规定半径的球体，在装有接闪器的建筑物上滚过，滚球体由于受建筑物上所安装的接闪器的阻挡而无法触及某些范围，把这些范围认为是接闪器的保护范围。这就是滚球法。
“滚球法”是国际电工委员会（IEC）推荐的接闪器保护范围计算方法之一；我国目前正在实施的建筑防雷规范GB50057-94也采纳了“滚球法”。
由立体几何的知识即可进行“滚球法”的计算。借助某些软件在计算机上可以使计算的过程及计算结果的表述变得更加简易。在本行业内大多数学者们的专著及文章中都对滚球法的计算机辅助计算有详细具体的说明。这里就不再复述。
下面介绍本公司在实际工程中是如何运用滚球法的：
由于使用避雷针做为接闪器时得到的保护范围，一般具有较好的轴对称性；而使用避雷带等其它接闪器时所得到的保护范围一般没有轴对称性，并且较为复杂，因此本文中只讨论以避雷针做为接闪器的情况。
首先规定以下几个条件：
1、 滚球半径为R（根据GB50057-94可选30、45、60m）。
2、 地面无论坡度θ多大均为绝对平面。
3、 避雷针高度H指针尖竖直至地面的距离，针尖以下部分均视为接闪器。针杆均为竖直安装，即避雷针与竖直轴重合。
　
一、 常规单针
（θ=0， H=R）
这种情况的保护范围沿竖直轴具有完全轴对称性，任选一个通过竖直轴的轴线剖面如下图
滚球球心的运动轨迹为：
L(直线)+A(圆弧)+L(直线)
注：A=π
一个半径为R的球沿θ=0的地面滚动，当它遇到高度H=R的避雷针时被阻碍，让它翻过针尖继续向前滚。滚球离开避雷针后我们即可看到滚球无法触及的范围就是滚球外圆运动轨迹的内包络线与地面间的范围。这就是该剖面上的保护范围。由于保护范围沿竖直轴具有完全轴对称性，令该包络线沿竖直轴旋转得到的实体就是实际空间的保护范围。如果被保护的建筑物完全在该实体的范围内，则我们认为这样的保护是有效的。

二、常规单针
（θ=0， 0<H<R）
这种情况的保护范围沿竖直轴具有完全轴对称性，任选一个通过竖直轴的轴线剖面如下图滚球球心的运动轨迹为：
L(直线)+A(圆弧)+L(直线)
注：0<A<π
一个半径为R的球沿θ=0的地面滚动，当它遇到高度0<H<R的避雷针时被阻碍，让它翻过针尖继续向前滚。滚球离开避雷针后我们即可看到滚球无法触及的范围就是滚球外圆运动轨迹的内包络线与地面间的范围。这就是该剖面上的保护范围。由于保护范围沿竖直轴具有完全轴对称性，令该包络线沿竖直轴旋转得到的实体就是实际空间的保护范围。如果被保护的建筑物完全在该实体的范围内，则我们认为这样的保护是有效的。
三、常规单针
（θ=0， H>R）
这种情况的保护范围沿竖直轴具有完全轴对称性，任选一个通过竖直轴的轴线剖面如下图
滚球球心的运动轨迹为：
L(直线)+ L(直线)+A(圆弧)+ L(直线)+L(直线)
注：A=π
一个半径为R的球沿θ=0的地面滚动，当它遇到高度H>R的避雷针时被阻碍，让它翻过针尖继续

向前滚。滚球离开避雷针后我们即可看到滚球无法触及的范围就是滚球外圆运动轨迹的内包络线与地面

间的范围。这就是该剖面上的保护范围。由于保护范围沿竖直轴具有轴对称性，令该包络线沿竖直轴旋

转得到的实体就是实际空间的保护范围。如果被保护的建筑物完全在该实体的范围内，则我们认为这样

的保护是有效的。
总结上述三种情况（一，二，三）。
它们的保护范围都沿竖直轴具有轴对称性，并且避雷针与竖直轴均重合，如果在不同高度上对保护范围取水平截面时即可得到保护范围的轮廓线，它们是以避雷针为圆心的一系列同心圆。
当保护范围确定后，这些同心圆的半径与水平截面的高度是一一对应的。即
r = f ( h ) ，h∈[0,H] （1）
式中： r ---- 同心圆的半径（保护半径）
h ---- 水平截面高度
一般情况下，我们将 r 称为保护半径。严谨的说法应该是某高度上的保护半径。如“高度为5m时保护半径为20m 。”
保护半径可以定义为：在某一高度的水平面上，从避雷针到保护范围边界的距离。
而当在具体工程应用中需要描述避雷针的保护范围时仅给出一个保护半径是不够的！
请看下面三种方法：
1、 公式法
方法：给出保护半径的表达式（1）。
优点：描述完整，精确。
缺点：计算复杂，不够直观。
常用于：编写教材及发表论文。
2、 列r-h表
方法：对高度h以一定的步长取值，带入保护半径的表达式（1）求出r列表即可。
优点：兼顾精确性及直观性。
缺点：计算复杂，不够完整。
常用于：编制产品手册。
3、 校核危险剖面
方法：根据经验找出最有可能超出保护范围的几个危险点，然后做出通过这些危险点的轴线剖面进行校核即可。
优点：计算简单，精确。
缺点：缺乏完整性及直观性。
常用于：具体工程计算。
在一，二，三中，以上3种方法均适用，差别不大。

四、常规单针
（ 0<θ<π/2， H=R·tg[(π-2θ)/4] ）
这种情况的保护范围沿竖直轴具有面对称性，沿垂直轴具有轴对称性，选取通过竖直轴及垂直轴的轴线剖面如下图
滚球球心的运动轨迹为：
L(直线)+A(圆弧)+L(直线)
注： A＝π－2θ
一个半径为R的球沿坡度为θ的地面滚动，当它遇到高度H=R·tg[(π-2θ)/4] 的避雷针时被阻碍，让它翻过针尖继续向前滚。滚球离开避雷针后我们即可看到滚球无法触及的范围就是滚球外圆运动轨迹的内包络线与地面间的范围。这就是该剖面上的保护范围。由于保护范围沿垂直轴具有轴对称性，令该包络线沿垂直轴旋转得到的实体就是实际空间的保护范围。如果被保护的建筑物完全在该实体的范围内，则我们认为这样的保护是有效的。
五、常规单针
（ 0<θ<π/2， H=R·ctg[(π-2θ)/4] ）
这种情况的保护范围沿竖直轴具有面对称性，沿垂直轴具有面对称性，选取通过竖直轴及垂直轴的轴线剖面如下图
滚球球心的运动轨迹为：
L(直线)+ L(直线)+A(圆弧)+L(直线)
注： A＝π
一个半径为R的球沿坡度为θ的地面滚动，当它遇到高度H=R·ctg[(π-2θ)/4] 的避雷针时被阻碍，让它翻过针尖继续向前滚。滚球离开避雷针后我们即可看到滚球无法触及的范围就是滚球外圆运动轨迹的内包络线与地面间的范围。这就是该剖面上的保护范围。由于保护范围不具有轴对称性，所以不能采用令包络线旋转的方式得到实际空间的保护范围。我们可以通过竖直轴做不同的剖面得到不同的内包络线，这些内包络线的集合与地面形成的空间实体就是保护范围。如果被保护的建筑物完全在该实体的范围内，则我们认为这样的保护是有效的。
六、常规单针
（ 0<θ<π/2， 0<H<R·tg[(π-2θ)/4] ）
这种情况的保护范围沿竖直轴具有面对称性，沿垂直轴具有轴对称性，选取通过竖直轴及垂直

轴的轴线剖面如下图

滚球球心的运动轨迹为：
L(直线)+A(圆弧)+L(直线)
注： 0<A<π－2θ
一个半径为R的球沿坡度为θ的地面滚动，当它遇到高度0<H<R·tg[(π-2θ)/4] 的避雷针时被

阻碍，让它翻过针尖继续向前滚。滚球离开避雷针后我们即可看到滚球无法触及的范围就是滚球外圆运动轨迹的内包络线与地面间的范围。这就是该剖面上的保护范围。由于保护范围沿垂直轴具有轴对称性，令该包络线沿垂直轴旋转得到的实体就是实际空间的保护范围。如果被保护的建筑物完全在该实体的范围内，则我们认为这样的保护是有效的。

七、常规单针
（ 0<θ<π/2， R·tg[(π-2θ)/4] <H<R·ctg[(π-2θ)/4] ）
这种情况的保护范围沿竖直轴具有面对称性，沿垂直轴具有面对称性，选取通过竖直轴及垂直轴的轴线剖面如下图
滚球球心的运动轨迹为：
L(直线)+ L(直线)+A(圆弧)+L(直线)
注：π－2θ<A<π
一个半径为R的球沿坡度为θ的地面滚动，当它遇到高度R·tg[(π-2θ)/4] <H<R·ctg[(π-2θ)/4] 的避雷针时被阻碍，让它翻过针尖继续向前滚。滚球离开避雷针后我们即可看到滚球无法触及的范围就是滚球外圆运动轨迹的内包络线与地面间的范围。这就是该剖面上的保护范围。由于保护范围不具有轴对称性，所以不能采用令包络线旋转的方式得到实际空间的保护范围。我们可以通过竖直轴做不同的剖面得到不同的内包络线，这些内包络线的集合与地面形成的空间实体就是保护范围。如果被保护的建筑物完全在该实体的范围内，则我们认为这样的保护是有效的。
八、常规单针
（ 0<θ<π/2， H>R·ctg[(π-2θ)/4] ）
这种情况的保护范围沿竖直轴具有面对称性，沿垂直轴具有面对称性，选取通过竖直轴及垂直轴的轴线剖面如下图
滚球球心的运动轨迹为：
L(直线)+ L(直线)+A(圆弧)+ L(直线)+L(直线)
注： A＝π
一个半径为R的球沿坡度为θ的地面滚动，当它遇到高度H>R·ctg[(π-2θ)/4] 的避雷针时被阻碍，让它翻过针尖继续向前滚。滚球离开避雷针后我们即可看到滚球无法触及的范围就是滚球外圆运动轨迹的内包络线与地面间的范围。这就是该剖面上的保护范围。由于保护范围不具有轴对称性，所以不能采用令包络线旋转的方式得到实际空间的保护范围。我们可以通过竖直轴做不同的剖面得到不同的内包络线，这些内包络线的集合与地面形成的空间实体就是保护范围。如果被保护的建筑物完全在该实体的范围内，则我们认为这样的保护是有效的。
总结上述五种情况（四，五，六，七，八）。
它们的保护范围都具有面对称性，该对称面由竖直轴及垂直轴确定。其中四，六的保护范围具有轴对称性，对称轴为垂直轴。如果在不同高度上对保护范围取水平截面时即可得到保护范围的轮廓线，但是线型较复杂。
为了便于分析，引入柱坐标系{r，β，h}。以避雷针为h轴，针杆与地面的交点为0点。
则保护半径的表达式为
r = f (β，h ) ，β∈[0,2π]，h∈[-R,H+R] （2）
式中： r ---- 保护半径
β ---- 方向
h ---- 水平截面高度
从（2）式中可看出，保护半径由高度及方向两个因素决定。此时的说法应该改为某高度上某方向的保护半径。如“高度为5m时，东偏南30?的保护半径为20m 。”
而此时在具体工程应用中需要描述避雷针的保护范围时仅给出一个保护半径是远不够的！
请看下面四种方法：
1、公式法
方法：给出保护半径的表达式（2）。
优点：描述完整，精确。
缺点：计算较复杂，不够直观。
2、列r-β, h表
方法：对方向β,高度h以一定的步长取值，带入保护半径的表达式（2）求出r列表即可。
优点：描述精确。
缺点：计算较复杂，不够完整，不够直观。
3、校核危险剖面
方法：根据经验找出最有可能超出保护范围的几个危险点，然后做出通过这些危险点的轴线剖面进行校核即可。
优点：计算简单，精确。
缺点：缺乏完整性及直观性。
4、计算机辅助设计
方法：使用三维绘图软件显示计算结果。
优点：非常完整，精确，直观。
缺点：计算较复杂。
在四，五，六，七，八中，第1，2，4种方法存在计算较复杂的问题，都要上机编程计算。我们认为第3种方法较适用。
总结上述八种情况（一～八）。
对坡度θ有变化的地形，或者安装一只以上的避雷针时，可以用以上八种情况组合而成进行分析，此时保护半径的表达式会相当复杂。当使用我们推荐的第3种方法时，虽然需要一定的经验，但是计算过程将变得简单。
通用的滚球法计算步骤
一、 适用范围说明
1、 任意形式的常规接闪器，包括避雷针，避雷带，避雷线，避雷网。
2、 接闪器的安装数量不受限制。
3、 地形起伏不受限制。
4、 除保护对象外，其他建筑物均视为大地。

二、 计算准备
1、 选用空间三维直角坐标系｛X,Y,Z｝。X－Y平面为水平面，Z轴为竖直轴。
2、确定地形边界。被保护对象在X－Y平面上投影的外廓沿法线方向外移2R（滚球直径）即可得到地形边界的最小范围。将地形边界内的大地表面数字化，可得到一个面的集合，定义为集合A(2,0)。
集合名称注解：
a、英文字母是集合的名称。
b、括号中的第一位数字表示集合中的元素所形成的空间结构特性。1表示线结构，2表示面结构，3表示实体结构。
c、括号中的第二位数字每增加1就表示原集合中的元素经过1次运算又得到了一个新的集合。
3、将被保护对象数字化，可得到一个实体的集合，定义为集合B(3,0)。
4、将所设计的接闪器数字化，可得到一个线的集合，定义为集合C(1,0)。

三、 计算
1、 优化大地表面。将A(2,0)通过优化计算得到A(2,1)。要求A(2,1)中任意一点的曲面半径均不小于滚球半径R。
2、 将A(2,1)沿法线方向向上移动，距离为R，得到新的集合A(2,2)。
3、 定义A(2,0) 与A(2,2)之间的空间为A(3,3)。
4、 将C(1,0)沿法线方向向外扩大，距离为R，得到新的集合C(3,1)。
5、 定义A(3,3) 与C(3,1)的并集为D(3,0)。
6、 定义D(3,0) 的上表面为D(2,1)。
7、 将D(2,1)沿法线方向向下移动，距离为R，得到新的集合D(2,2)。
8、 定义A(2,1) 与D(2,2)之间的空间为E(3,0)。E(3,0)就是接闪器的保护范围空间。
9、 定义A(2,0) 与A(2,1)之间的空间为F(3,0)。F(3,0)是自然保护范围空间。意思是不安装接闪器该空间也受保护。
10、 定义E(3,0) 与F(3,0)的并集为G(3,0)。G(3,0)就是总的保护范围空间。
11、 令H(3,0)=B(3,0)-B(3,0)∩G(3,0)。H(3,0)就是被保护对象上不在保护范围内的空间。如果H(3,0)为空集，则表示被保护对象在接闪器的保护范围内。